VG3
linear-algebra
Quiz
Hva er determinanter?
Determinanten er et enkelt tall som forteller oss viktige egenskaper ved en matrise — blant annet om den kan inverteres.
Determinanten er et tall knyttet til en kvadratisk matrise. Den forteller oss om matrisen har en invers, og den måler hvordan matrisen skalerer arealer og volumer.
Determinant av 2×2 matrise
det(A) = |a b| = ad - bc
|c d|
Eksempel:
A = [3 2]
[1 4]
det(A) = 3·4 - 2·1 = 12 - 2 = 10
A = [3 2]
[1 4]
det(A) = 3·4 - 2·1 = 12 - 2 = 10
Determinant av 3×3 matrise
Vi bruker Sarrus regel eller kofaktorutvikling:
|a b c|
|d e f| = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)
|g h i|
|d e f| = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)
|g h i|
Hva forteller determinanten?
det(A) ≠ 0 → A er inverterbar (har løsning)
det(A) = 0 → A er singulær (ingen unik løsning)
det(A) = 0 → A er singulær (ingen unik løsning)
Geometrisk tolkning:
|det(A)| = arealet av parallellogrammet dannet av matrisens kolonnevektorer.
Hvis det(A) = 6 skalerer matrisen arealer med faktor 6.
|det(A)| = arealet av parallellogrammet dannet av matrisens kolonnevektorer.
Hvis det(A) = 6 skalerer matrisen arealer med faktor 6.
Viktig egenskap:
det(A · B) = det(A) · det(B)
det(Aᵀ) = det(A)
det(A · B) = det(A) · det(B)
det(Aᵀ) = det(A)
Cramers regel
Determinanter brukes til å løse lineære likningssystemer:
x = det(Aₓ) / det(A)
y = det(Aᵧ) / det(A)
y = det(Aᵧ) / det(A)
Determinanten avslører matrisens indre natur — som en fingeravtrykk av dens essens.
— Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)
🧠 Test deg selv
Spørsmål 1 av 5
Hva er det([3 1; 2 4])?