VG2
kalkulus
Quiz
Fullstendige kvadrater
Metoden med fullstendige kvadrater er en elegant teknikk for å løse andregradslikninger og omskrive kvadratiske uttrykk.
Fullstendige kvadrater er en teknikk der vi skriver et kvadratisk uttrykk på formen (x + p)² + q. Dette gjør det enklere å finne toppunktet og løse likninger.
ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a)
Fremgangsmåte
Steg for steg:
1. Skill ut koeffisienten a foran x²
2. Legg til og trekk fra (b/2a)²
3. Gjenkjenn kvadratet (x + b/2a)²
4. Forenkle konstantleddet
1. Skill ut koeffisienten a foran x²
2. Legg til og trekk fra (b/2a)²
3. Gjenkjenn kvadratet (x + b/2a)²
4. Forenkle konstantleddet
Eksempler
Eksempel 1: Skriv x² + 6x + 5 som fullstendig kvadrat
x² + 6x + 5
= x² + 6x + 9 - 9 + 5
= (x + 3)² - 4
= x² + 6x + 9 - 9 + 5
= (x + 3)² - 4
Toppunkt: (-3, -4)
Eksempel 2: Løs x² + 4x - 12 = 0 ved fullstendige kvadrater
x² + 4x - 12 = 0
(x + 2)² - 4 - 12 = 0
(x + 2)² = 16
x + 2 = ±4
x = 2 eller x = -6
(x + 2)² - 4 - 12 = 0
(x + 2)² = 16
x + 2 = ±4
x = 2 eller x = -6
Eksempel 3: Skriv 2x² - 8x + 3 som fullstendig kvadrat
2x² - 8x + 3
= 2(x² - 4x) + 3
= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
= 2(x - 2)² - 8 + 3
= 2(x - 2)² - 5
= 2(x² - 4x) + 3
= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
= 2(x - 2)² - 8 + 3
= 2(x - 2)² - 5
Toppunkt: (2, -5)
Fordelen: Fullstendige kvadrater gir deg toppunktet (p, q) direkte uten å bruke toppunktformelen x = -b/2a separat!
Algebraen er generøs — hun gir ofte mer enn det som blir bedt om.
— Jean le Rond d'Alembert (1717–1783)
🧠 Test deg selv
Spørsmål 1 av 5
Skriv x² + 8x + 7 som fullstendig kvadrat
Les også
Hva er integralregning?
Integralregning er den andre store grenen innen kalkulus — det motsatte av derivasjon. Det…
Hva er kvotientregelen?
Kvotientregelen brukes når vi skal derivere en brøk av to funksjoner.…
Hva er produktregelen?
Produktregelen brukes når vi skal derivere et produkt av to funksjoner.…