VG2
kalkulus
Quiz
Fullstendige kvadrater
Metoden med fullstendige kvadrater er en elegant teknikk for å løse andregradslikninger og omskrive kvadratiske uttrykk.
Fullstendige kvadrater er en teknikk der vi skriver et kvadratisk uttrykk på formen (x + p)² + q. Dette gjør det enklere å finne toppunktet og løse likninger.
ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a)
Fremgangsmåte
Steg for steg:
1. Skill ut koeffisienten a foran x²
2. Legg til og trekk fra (b/2a)²
3. Gjenkjenn kvadratet (x + b/2a)²
4. Forenkle konstantleddet
1. Skill ut koeffisienten a foran x²
2. Legg til og trekk fra (b/2a)²
3. Gjenkjenn kvadratet (x + b/2a)²
4. Forenkle konstantleddet
Eksempler
Eksempel 1: Skriv x² + 6x + 5 som fullstendig kvadrat
x² + 6x + 5
= x² + 6x + 9 - 9 + 5
= (x + 3)² - 4
= x² + 6x + 9 - 9 + 5
= (x + 3)² - 4
Toppunkt: (-3, -4)
Eksempel 2: Løs x² + 4x - 12 = 0 ved fullstendige kvadrater
x² + 4x - 12 = 0
(x + 2)² - 4 - 12 = 0
(x + 2)² = 16
x + 2 = ±4
x = 2 eller x = -6
(x + 2)² - 4 - 12 = 0
(x + 2)² = 16
x + 2 = ±4
x = 2 eller x = -6
Eksempel 3: Skriv 2x² - 8x + 3 som fullstendig kvadrat
2x² - 8x + 3
= 2(x² - 4x) + 3
= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
= 2(x - 2)² - 8 + 3
= 2(x - 2)² - 5
= 2(x² - 4x) + 3
= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
= 2(x - 2)² - 8 + 3
= 2(x - 2)² - 5
Toppunkt: (2, -5)
Fordelen: Fullstendige kvadrater gir deg toppunktet (p, q) direkte uten å bruke toppunktformelen x = -b/2a separat!
Algebraen er generøs — hun gir ofte mer enn det som blir bedt om.
— Jean le Rond d'Alembert (1717–1783)
🧠 Test deg selv
Spørsmål 1 av 5
Skriv x² + 8x + 7 som fullstendig kvadrat
Les også
Hva er integralregning?
Integralregning er den andre store grenen innen kalkulus — det motsatte av derivasjon. Det…
Hva er produktregelen?
Produktregelen brukes når vi skal derivere et produkt av to funksjoner.…
Hva er derivasjon?
Derivasjon handler om å finne den momentane endringsraten til en funksjon — altså hvor ras…